Проект команды "Фантастические дроби"
Древняя Русь
— государство, покрытое завесой тайны, разгадать которую нам ещё предстоит...
Исследование древнерусской системы дробей в её эволюционном развитии
Древнерусские дроби в доцифирном переводе
В древней Руси система дробей имела такой вид: чаще всего было деление отдельных мер и денег на уменьшенные в два раза части по системе двух и трех. половина какого-либо количества обозначалась приставкой «пол», одна третья числа обозначалась словом «треть», четверь числа обозначалась словом «четь» или «четверть». Иногда все эти обозначения сливались воедино, для обозначения меньшей дроби:
Одна шестая обозначалась «пол-трети».
Одна восьмая — «пол-чети» или «пол-четверти».
Для обозначения более меньших дробей количество приставок «пол» увеличивалось на одну (т.е. число еще раз делилось на 2), две и т.д. в зависимости от величины дроби.
Так 1/12 обозначалась как «пол-пол-трети».
1/16 — «пол-пол-чети».
1/24— «пол-пол-пол-трети».
1/32 — «пол-пол-пол-чети»
и т. д.
Из таких обозначений появляются выражения пол-трети коробьи, пол-четверти зобницы, пол-деньги и т. д.
Не следует путать «четверть» или «четь», как единицу измерения земельной площади или меру сыпучих тел, с «четвертью» или «четью», как дробью. Если как следует разобраться в различии между этими понятиями, то система древнерусских мер поверхности не представит трудностей для понимания. Дробное выражение пол-четверти — 1/8. Но половина четверти как земельной меры это — осьмина (более мелкая единица измерения). Следовательно, пол-осьмины = 1/4 четверти как земельной меры, пол-пол-осьмины = 1/8 (или пол-четверти) четверти как земельной меры.
Надо иметь в виду также, что часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания. Например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол-трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).
Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например: 2,1/2=полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы); 3,1/2=полчетверты; 4,1/2=полпяты; 5,1/2=полшесты; 6,1/2=полсемы; 7,1/2=полосьмы; 8,1/2=полдевяты.
Одна шестая обозначалась «пол-трети».
Одна восьмая — «пол-чети» или «пол-четверти».
Для обозначения более меньших дробей количество приставок «пол» увеличивалось на одну (т.е. число еще раз делилось на 2), две и т.д. в зависимости от величины дроби.
Так 1/12 обозначалась как «пол-пол-трети».
1/16 — «пол-пол-чети».
1/24— «пол-пол-пол-трети».
1/32 — «пол-пол-пол-чети»
и т. д.
Из таких обозначений появляются выражения пол-трети коробьи, пол-четверти зобницы, пол-деньги и т. д.
Не следует путать «четверть» или «четь», как единицу измерения земельной площади или меру сыпучих тел, с «четвертью» или «четью», как дробью. Если как следует разобраться в различии между этими понятиями, то система древнерусских мер поверхности не представит трудностей для понимания. Дробное выражение пол-четверти — 1/8. Но половина четверти как земельной меры это — осьмина (более мелкая единица измерения). Следовательно, пол-осьмины = 1/4 четверти как земельной меры, пол-пол-осьмины = 1/8 (или пол-четверти) четверти как земельной меры.
Надо иметь в виду также, что часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания. Например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол-трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).
Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например: 2,1/2=полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы); 3,1/2=полчетверты; 4,1/2=полпяты; 5,1/2=полшесты; 6,1/2=полсемы; 7,1/2=полосьмы; 8,1/2=полдевяты.
Вывод
Таким образом, доцифирные дроби были слишком неудобны в использовании, ведь их произношение и написание занимало слишком много времени. Дроби такого вида неизбежно бы претерпели изменения, так как людям было необходимо улучшать системы счисления, что в любом случае бы привело к их эволюции и переходу в цифирный вид.
Особенности древнерусского речевого выражения дробей в доцифирной арифметике
Как и у всех других народов, счёт у славян возник очень давно. Поначалу они сравнивали на глаз разные количества одинаковых предметов. Также у славян было узелковое письмо. В наше время от узелкового письма остальсь только выражения, к примеру, «узелок на память» и гадание на льняной нити по узлам.
В России первые единицы длины были связаны с размерами частей тела человека (сажень, локоть, пядь). Примеры: косая сажень (248 см) — расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки; маховая сажень (176 см) — расстояние между концами пальцев расставленных в стороны рук; локоть (45 см) — расстояние от локтя до концов пальцев согнутой руки. В старину на Руси применялись другие меры массы. Чтобы взвесить дорогие мелкие товары использовали золотник (4 г). В торговле использовались: фунт (96 золотников), пуд (40 фунтов), берковец (10 пудов).
Дроби в Древней Руси назывались долями, позднее «ломаными числами».
Само слово «дробь» появилось на Руси в VIII веке. Оно произошло от глагола «дробить, разделять на части».
Возникновение сошной арифметики связано с введением во второй половине 16-ого века единой окладной поземельной единицы — другими словами — большой сохи. Её суть состояла в вычислении коэффициентов, по которым при учете качества земли и положения владельцев устанавливалась условная мера — соха. Это было необходимо сделать чтобы разработать арифметическую систему действия с дробями для вычислительных нужд, а после привязать систему к инструменту для выполнения необходимых подсчетов. Так была разработана «сошная» арифметика со специфическими «сошными» дробями.
В России первые единицы длины были связаны с размерами частей тела человека (сажень, локоть, пядь). Примеры: косая сажень (248 см) — расстояние от пальцев левой ноги до конца пальцев поднятой правой руки; маховая сажень (176 см) — расстояние между концами пальцев расставленных в стороны рук; локоть (45 см) — расстояние от локтя до концов пальцев согнутой руки. В старину на Руси применялись другие меры массы. Чтобы взвесить дорогие мелкие товары использовали золотник (4 г). В торговле использовались: фунт (96 золотников), пуд (40 фунтов), берковец (10 пудов).
Дроби в Древней Руси назывались долями, позднее «ломаными числами».
Само слово «дробь» появилось на Руси в VIII веке. Оно произошло от глагола «дробить, разделять на части».
Возникновение сошной арифметики связано с введением во второй половине 16-ого века единой окладной поземельной единицы — другими словами — большой сохи. Её суть состояла в вычислении коэффициентов, по которым при учете качества земли и положения владельцев устанавливалась условная мера — соха. Это было необходимо сделать чтобы разработать арифметическую систему действия с дробями для вычислительных нужд, а после привязать систему к инструменту для выполнения необходимых подсчетов. Так была разработана «сошная» арифметика со специфическими «сошными» дробями.
О сошной арифметике
На протяжении XVI-XVII веков в сошной арифметике применялись различные инструменты и приемы.
Одним из таких приемов был способ записи чисел «в решетках».
В арифметических рукописях можно встретить «счет костьми». Он не имел рамы, и счетные косточки в нем использовались не нанизанными, а в россыпи.
На доске или столе проводили мелом несколько горизонтальных линий для единиц, десятков, сотен и т.д., следуя снизу вверх. На каждую линию клали до 4 костей. Если кость помещалась между линиями, то она означала 5 единиц разряда, который откладывается на более близкой к вычислителю линии. Вертикальные линии разделяли доску на несколько столбцов, в которые клали кости, соответствующие разным действиям. Сложению, умножению, вычитанию, делению.
В некоторых рукописях приводятся чертежи и описания «дщиц счетных». В них находится большее количество рядов с одной костью, так что на них можно откладывать доли до 1/128 и 1/96. Изготовлялись и соответствующие приборы.
Также существовал «дощаный счет».
С помощью него можно было быстро и легко производить сложные арифметические действия. В отличие от современных счетов, «дощаный счёт» имел в нижней части прутья или шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями. Такой прибор был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Он использовался для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер едкости и весов.
Дощаный счет был особенно распространен среди торговцев, «мерщиков» — землемеров, монастырских экономов и т.д.
Использовались и специальные переводные таблицы. Они позволяли приводить дроби обоего рода (четвертные и третные) к общему знаменателю.
Также существовал механизм проверки расчетов — «московский счёт».
Одним из таких приемов был способ записи чисел «в решетках».
В арифметических рукописях можно встретить «счет костьми». Он не имел рамы, и счетные косточки в нем использовались не нанизанными, а в россыпи.
На доске или столе проводили мелом несколько горизонтальных линий для единиц, десятков, сотен и т.д., следуя снизу вверх. На каждую линию клали до 4 костей. Если кость помещалась между линиями, то она означала 5 единиц разряда, который откладывается на более близкой к вычислителю линии. Вертикальные линии разделяли доску на несколько столбцов, в которые клали кости, соответствующие разным действиям. Сложению, умножению, вычитанию, делению.
В некоторых рукописях приводятся чертежи и описания «дщиц счетных». В них находится большее количество рядов с одной костью, так что на них можно откладывать доли до 1/128 и 1/96. Изготовлялись и соответствующие приборы.
Также существовал «дощаный счет».
С помощью него можно было быстро и легко производить сложные арифметические действия. В отличие от современных счетов, «дощаный счёт» имел в нижней части прутья или шнуры для счета четями и третями с их двоичными долями. Такой прибор был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Он использовался для денежного счета, фискальных расчетов, вычисления мер едкости и весов.
Дощаный счет был особенно распространен среди торговцев, «мерщиков» — землемеров, монастырских экономов и т.д.
Использовались и специальные переводные таблицы. Они позволяли приводить дроби обоего рода (четвертные и третные) к общему знаменателю.
Также существовал механизм проверки расчетов — «московский счёт».
Древнерусское счётное устройство
Авторский видеоролик-инструкция
«Дощаный счёт»
Модель устройства из государственного исторического музея Москвы. XVII век
Модель устройства из государственного исторического музея Москвы. XVII век
Счёты по-русски от Фантастических Дробей
О "дощаном счёте"
Счёты состояли из двух отсеков, в каждом из которых было два вида рядов. Верхние десять рядов, идентичные современным бухгалтерским счётам, использовались для работы с целыми числами. Нижние же разделились деревянной перегородкой и помогали в подсчёте дробей.
Ряды, состоящие из четырёх и трёх костяшек, служили для счёта четвертей и третей соответственно (также были вариации рядов с пятью и шестью костяшками). Ряды, находящиеся ниже и содержащие по две костяшки, символизировали доли, в два раза меньшие дроби, находящейся выше. Так одна костяшка под рядом четвертей обозначала 1/8, а костяшка под рядом третей — 1/6 (далее под 1/8 находилась 1/16, под 1/16 — 1/32 и т. д.).
Этот вид счётов не был приспособлен для операций с дробями с разными знаменателями, однако эта проблема решалась переводом знаменателей с помощью специальных таблиц или в уме.
Ряды, состоящие из четырёх и трёх костяшек, служили для счёта четвертей и третей соответственно (также были вариации рядов с пятью и шестью костяшками). Ряды, находящиеся ниже и содержащие по две костяшки, символизировали доли, в два раза меньшие дроби, находящейся выше. Так одна костяшка под рядом четвертей обозначала 1/8, а костяшка под рядом третей — 1/6 (далее под 1/8 находилась 1/16, под 1/16 — 1/32 и т. д.).
Этот вид счётов не был приспособлен для операций с дробями с разными знаменателями, однако эта проблема решалась переводом знаменателей с помощью специальных таблиц или в уме.
Задача
Приехал князь Ярополк в село, подходит он к крестьянам и требует заплатить Тихона 1/4 сохи, Митродора 1/6 сохи и Миролюба 1/16 сохи.
Сколько всего заплатили три крестьянина князю?
Ответ: при равенстве соха равна 48 денежным единицам При переводе в денежную единицу эти дроби составят 12+8+3, что будет равно 23 денежных единицы.
Сколько всего заплатили три крестьянина князю?
Ответ: при равенстве соха равна 48 денежным единицам При переводе в денежную единицу эти дроби составят 12+8+3, что будет равно 23 денежных единицы.
Дощаный счёт супротив современного Всю свою историю счёты играли огромную роль в жизни человека и общества. Всегда людям было необходимо заниматься подсчётом тех или иных вещей. За всё время своего существование счёты претерпели немало изменений, однако их внешний вид не сильно изменился. Главное преобразование произошло в их функционале. Так, например, первые счёты на Руси, появление которых датировано концом семнадцатого века, представляли собой два ящика с натянутыми поперёк нитями, на которые были надеты кости. В нижней части каждого ящика находилась перегородка, которая была необходима для счетных операций с дробями. Легко заметить, что наличием именно этой перегородки и второго ящика древние счёты и отличались от современных. Современные же счёты выглядят гораздо проще. Это обычная рамка с натянутыми поперёк них спицами и надетыми на них костями или кольцами. Перегородка сейчас также отсутствует. В нашем мире счёты практически утратили своё значение в силу появления автоматизированных вычислительных устройств. Конторные счёты используются лишь изредка в местах, где по каким-то причинам отсутствуют калькуляторы или иные современные вычислительные устройства. |
